Ecuaciones lineales de primer grado

 

Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0, donde a ≠ 0 ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esta expresión.

La solución o raíz de este tipo de ecuación tiene la forma: x = - b/a, por ejemplo para encontrar la raíz de la ecuación 3x + 1 = 0  aplicamos la fórmula de solución y obtenemos

x = - ⅓.

 

Sistema de ecuaciones lineales

 

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales o de primer grado con una o varias incógnitas, cuya escritura esta dada de la siguiente forma:

 

Donde las vocales a y b se llaman coeficientes de la ecuación, x e y son las variables y k es el término independiente. En este caso se dice que es un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 ya que aparecen dos ecuaciones con dos variables. En el caso de un sistema de ecuaciones 3 x 3, encontramos tres ecuaciones con tres incógnitas, por ejemplo:

  x + y + z = 4

3x - 2y - z = 4

x + 3y - 5z = 1

 

Soluciones de un sistema de ecuaciones

 

Existen dos formas de solucionar un sistema de ecuaciones, analíticamente y gráficamente. Analíticamente se reconocen cuatro métodos: método de igualación, método de sustitución, método de reducción y por Regla de Cramer.

Método de igualación: Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.

Método de sustitución: consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial para calcular el valor de la otra incógnita.

Método de reducción: este método consta de los siguientes pasos:

• Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

• Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

• Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Regla de Cramer: para resolver un sistema de ecuaciones por este método debe tenerse un conocimiento básico de matrices y determinantes y solo se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

·         El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

·         El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

 

Solución gráfica de un sistema de ecuaciones

 

Graficar ecuaciones para identificar y especificar un punto específico de intersección generalmente no es una forma precisa de resolver sistemas porque podría ser difícil encontrar exactamente el punto donde las rectas se intersectan (a menos que estés usando un programa de computadora que te permita ampliar el punto). Sin embargo, la gráfica de un sistema de ecuaciones puede darnos una idea de qué tipo de solución buscamos.

Las gráficas de ecuaciones del sistema nos pueden decir cuántas soluciones existen en ese sistema. Las imágenes de abajo muestran dos rectas que conforman un sistema de ecuaciones (en la tercer imagen las dos rectas se enciman y parecen una sola línea). ¿Cuántos puntos en común revelan cada uno de los sistemas?

 

Fuente: http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U06_L1_T1_text_final_es.html

 

 

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